Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe lim x p f(x)-f(p)x-p.
f(x)=|x|, p=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se existe o limite onde . Isso está relacionado ao estudo de derivadas na matemática, especificamente ao conceito de derivada como o limite da taxa de variação da função em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir limx 0 |x| - |0|x - 0 = limx 0 |x|x e na expressão do limite:
Agora, precisamos analisar o comportamento desse limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).

Passo 3

Vamos considerar dois casos:
  1. Quando limx 0^+ xx = limx 0^+ 1 = 1 se aproxima de 0 pela direita ( limx 0^- -xx = limx 0^- -1 = -1 ):
    Nesse caso, é positivo, então . Substituindo na expressão:
  2. Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
    Aqui, é negativo, então . Substituindo na expressão:

Passo 4

Observamos que os limites laterais são diferentes:
limx 0^+ |x|x = 1 e limx 0^- |x|x = -1
Para que o limite geral exista, os limites à direita e à esquerda precisam ser iguais. Como aqui eles são diferentes, o limite não existe.

Resposta

Não, o limite não existe.

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