Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe lim x p f(x)-f(p)x-p.
f(x)=x^3, p=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se existe o limite para a função . Aqui, estamos lidando com o conceito de derivada em cálculo, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o limite está nos mostrando. A expressão é uma taxa de variação média da função entre e 2. Quando calculamos o limite dessa expressão conforme se aproxima de 2, estamos encontrando a derivada da função no ponto .

Passo 3

Vamos calcular f(2) = 2^3 = 8 :
lim x 2 x^3 - 8x - 2
Agora, substituímos e na expressão do limite:

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos fatorar o numerador x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) . Sabemos que lim x 2 (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2 . Aqui, , então:
Substituindo na expressão do limite:

Passo 5

Podemos simplificar a fração cancelando o termo lim x 2 (x^2 + 2x + 4) no numerador e no denominador:
2^2 + 2 cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Agora, basta substituir por 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite existe e o seu valor é 12.

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