Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se existe o limite para a função . Aqui, estamos lidando com o conceito de derivada em cálculo, que nos ajuda a entender a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o limite está nos mostrando. A expressão é uma taxa de variação média da função entre e 2. Quando calculamos o limite dessa expressão conforme se aproxima de 2, estamos encontrando a derivada da função no ponto .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, substituímos e na expressão do limite:

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos fatorar o numerador . Sabemos que . Aqui, , então:
Substituindo na expressão do limite:

Passo 5

Podemos simplificar a fração cancelando o termo no numerador e no denominador:
Agora, basta substituir por 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite existe e o seu valor é 12.

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Calcule.
Calcule.
Calcule.