Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe lim x p f(x)-f(p)x-p.
f(x)=x^2, p=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se existe o limite limx 3 f(x) - f(3)x - 3 para a função f(x) = x^2. Esse tipo de limite está ligado ao conceito de derivada na matemática, que basicamente nos diz a taxa de variação de uma função num ponto específico. Para resolver, vamos calcular passo a passo esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) e f(3) na expressão do limite. Sabemos que f(x) = x^2, então f(3) = 3^2 = 9. A expressão fica:
f(x) - f(3)x - 3 = x^2 - 9x - 3

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a expressão x^2 - 9x - 3. Perceba que o numerador x^2 - 9 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
(x - 3)(x + 3)x - 3
Aqui, o termo (x - 3) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los, desde que x neq 3 (o que é válido porque estamos olhando o limite quando x se aproxima de 3, mas não exatamente igual a 3).

Passo 5

Após cancelar (x - 3), a expressão simplifica para:
x + 3
Então, o limite agora é:
limx 3 (x + 3)

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite substituindo x por 3 na expressão simplificada:
3 + 3 = 6

Resposta

O limite limx 3 f(x) - f(3)x - 3 existe e é igual a 6.

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