Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se existe o limite
para a função
. Esse tipo de limite está ligado ao conceito de derivada na matemática, que basicamente nos diz a taxa de variação de uma função num ponto específico. Para resolver, vamos calcular passo a passo esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
na expressão do limite. Sabemos que
, então
. A expressão fica:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar a expressão
. Perceba que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
Aqui, o termo
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los, desde que
(o que é válido porque estamos olhando o limite quando
se aproxima de 3, mas não exatamente igual a 3).
Passo 5
Após cancelar
, a expressão simplifica para:
Então, o limite agora é:
Passo 6
Finalmente, calculamos o limite substituindo
por 3 na expressão simplificada:
Resposta
O limite
existe e é igual a
.
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Calcule.
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