Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se existe o limite para a função . Esse tipo de limite está ligado ao conceito de derivada na matemática, que basicamente nos diz a taxa de variação de uma função num ponto específico. Para resolver, vamos calcular passo a passo esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na expressão do limite. Sabemos que , então . A expressão fica:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a expressão . Perceba que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original, temos:
Aqui, o termo aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los, desde que (o que é válido porque estamos olhando o limite quando se aproxima de 3, mas não exatamente igual a 3).

Passo 5

Após cancelar , a expressão simplifica para:
Então, o limite agora é:

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite substituindo por 3 na expressão simplificada:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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Calcule.
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