Calcule. lim x 2^- x-5x^2-4

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 2^- x-5x^2-4. Aqui, estamos lidando com limites, um conceito da matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões e analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2 - 4. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, reescrevemos a expressão original com o denominador fatorado:
x - 5x^2 - 4 = x - 5(x - 2)(x + 2)

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, x está ligeiramente menor que 2. Vamos observar o sinal de cada fator no denominador e no numerador:
  • x - 5: Se x está perto de 2, x - 5 será negativo.
  • x - 2: Como x está menor que 2, x - 2 será negativo.
  • x + 2: Com x próximo a 2, x + 2 será positivo.

Passo 5

Multiplicando os sinais no denominador:
(x - 2)(x + 2) = negativo times positivo = negativo
E o numerador é negativo:
x - 5 = negativo
Então, a fração completa será:
negativonegativo = positivo

Passo 6

Agora, calculamos o valor do limite substituindo x por 2:
lim x 2^- x - 5(x - 2)(x + 2) = 2 - 5(2 - 2)(2 + 2) = -30^- = +infty
O denominador se aproxima de zero negativo, e o numerador é negativo, então o limite é positivo infinito.

Resposta

lim x 2^- x-5x^2-4 = +infty

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