Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe lim x p f(x)-f(p)x-p.
f(x)=cccx^2-1 & se & x <= 0 x & se & x>0 p=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se existe o limite para a função dada. Aqui, a função é definida de forma diferente dependendo se é maior ou menor que 0. Pra isso, vamos usar o conceito de limite lateral, ou seja, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e pela direita (valores positivos) e ver se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de f(x) = x^2 - 1 & se x <= 0 x & se x > 0 . Olhando a definição da função:
f(0) = 0^2 - 1 = -1
Como , usamos a primeira parte:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando limx to 0^- f(x) - f(0)x - 0 = limx to 0^- (x^2 - 1) - (-1)x = limx to 0^- x^2x = limx to 0^- x = 0 se aproxima de 0 vindo dos negativos ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando limx to 0^+ f(x) - f(0)x - 0 = limx to 0^+ x - (-1)x = limx to 0^+ x + 1x se aproxima de 0 vindo dos positivos ( limx to 0^+ x + 1x = limx to 0^+ (1 + 1x) = +infty ):
Aqui, se tentarmos substituir , teríamos uma divisão por zero, então precisamos ver o comportamento:
Ou seja, o limite tende ao infinito.

Passo 5

Finalmente, comparamos os limites laterais:
  • O limite pela esquerda é 0.
  • O limite pela direita é .
Como os dois limites não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados