Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se existe o limite para a função dada. Aqui, a função é definida de forma diferente dependendo se é maior ou menor que 0. Pra isso, vamos usar o conceito de limite lateral, ou seja, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos) e pela direita (valores positivos) e ver se eles são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Olhando a definição da função:
Como , usamos a primeira parte:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 0 vindo dos negativos ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 0 vindo dos positivos ( ):
Aqui, se tentarmos substituir , teríamos uma divisão por zero, então precisamos ver o comportamento:
Ou seja, o limite tende ao infinito.

Passo 5

Finalmente, comparamos os limites laterais:
  • O limite pela esquerda é 0.
  • O limite pela direita é .
Como os dois limites não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Calcule.
Calcule.