Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe lim x p f(x)-f(p)x-p.
f(x)=cccx^3 & se & x <= 2 3 x^2-4 & se & x>2 , p=1

Passo 1

Entendendo o problema: Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^3 & se x <= 2 3x^2 - 4 & se x > 2
Queremos verificar se existe o limite:
limx 1 f(x) - f(1)x - 1
Conteúdo da matéria: Este limite é a definição da derivada da função no ponto . Para resolver, precisamos entender a definição de derivada e calcular o limite correspondente.

Passo 2

Identificando f(1) = 1^3 = 1 : Como e , usamos a primeira parte da função:

Passo 3

Substituindo na expressão do limite: Vamos substituir limx 1 f(x) - 1x - 1 e f(x) = x^3 na expressão do limite:
limx 1 x^3 - 1x - 1
Como está se aproximando de 1 e 1 , usamos novamente a primeira parte da função:
Então:

Passo 4

Calculando o limite: Podemos fatorar x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) usando a fórmula da diferença de cubos:
limx 1 (x - 1)(x^2 + x + 1)x - 1 = limx 1 (x^2 + x + 1)
Substituindo na expressão do limite:
1^2 + 1 + 1 = 3
Agora podemos substituir :

Resposta

O limite existe e é igual a 3.

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