Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .

Passo 1

Entendendo o problema: Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se existe o limite:
Conteúdo da matéria: Este limite é a definição da derivada da função no ponto . Para resolver, precisamos entender a definição de derivada e calcular o limite correspondente.

Passo 2

Identificando : Como e , usamos a primeira parte da função:

Passo 3

Substituindo na expressão do limite: Vamos substituir e na expressão do limite:
Como está se aproximando de 1 e 1 , usamos novamente a primeira parte da função:
Então:

Passo 4

Calculando o limite: Podemos fatorar usando a fórmula da diferença de cubos:
Substituindo na expressão do limite:
Agora podemos substituir :

Resposta

O limite existe e é igual a 3.

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Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .
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Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .
Para cada uma das funções abaixo, verifique se existe .
Calcule.