Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x -> 0.
8a
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x -> 0: f(x) = sen(2x) / x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite da função quando se aproxima de 0. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente os limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da função seno próximo de zero e aplicar uma regra de limites conhecida.

Passo 2

Primeiro, lembramos que existe um limite fundamental em cálculo:
Esse limite é muito útil para resolver outros limites que envolvem funções trigonométricas.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro do seno é em vez de apenas . Então, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Passo 4

Reescrevemos a função em termos de :
Mas como , podemos escrever . Substituindo isso na função:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:
Usamos o limite fundamental que mencionamos no Passo 2.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 é igual a 2.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia: f(x) = raiz(cubo(x^2 + 2)).
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
(b) (1, -3 pi / 4)
Se z=f(x, y), x=r cos theta, y=r sen theta, onde f é uma função diferenciável, expressar partial zpartial x e partial zpartial y como funções de r e theta.
Calcule a derivada de cada função abaixo.
3a
Calcule a derivada de cada função abaixo: y = pi / x + raiz(2).