Se z=f(x, y), x=r cos theta, y=r sen theta, onde f é uma função diferenciável, expressar partial zpartial x e partial zpartial y como funções de r e theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função , onde e estão expressos em coordenadas polares: e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , mas expressas em termos de e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função z = f(x, y) = f(r cos theta, r sen theta) em termos de e . Como e , podemos substituir na função :
Dessa forma, agora está expressa em termos de e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar as derivadas parciais e em termos de e . Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite expressar derivadas em coordenadas diferentes.

Passo 4

Vamos calcular partial zpartial x = partial fpartial x = partial fpartial r cdot partial rpartial x + partial fpartial theta cdot partial thetapartial x primeiro. Pela regra da cadeia:
Mas precisamos expressar e em termos de e .

Passo 5

Sabemos que:
r = raizx^2 + y^2 e theta = arctan(yx)
Então, as derivadas parciais são:
partial rpartial x = xraizx^2 + y^2 = cos theta

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão de partial zpartial x = partial fpartial r cdot cos theta + partial fpartial theta cdot (-sen thetar) :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular partial zpartial y = partial fpartial r cdot partial rpartial y + partial fpartial theta cdot partial thetapartial y usando a mesma abordagem. Pela regra da cadeia:
partial rpartial y = yraizx^2 + y^2 = sen theta
Calculando partial thetapartial y = xx^2 + y^2 = cos thetar e :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão de partial zpartial y = partial fpartial r cdot sen theta + partial fpartial theta cdot cos thetar :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial x = cos theta cdot partial fpartial r - sen thetar cdot partial fpartial theta em relação a partial zpartial y = sen theta cdot partial fpartial r + cos thetar cdot partial fpartial theta e expressas em termos de e são:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x -> 0.
8a
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando x -> 0: f(x) = sen(2x) / x.
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia: f(x) = raiz(cubo(x^2 + 2)).
Calcule a derivada de cada função abaixo.
3a
Calcule a derivada de cada função abaixo: y = pi / x + raiz(2).
Calcule a derivada de cada função abaixo: y = x + 1/x.