Se
, onde
é uma função diferenciável, expressar
como funções de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
, onde
e
estão expressos em coordenadas polares:
e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, mas expressas em termos de
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
e
. Como
e , podemos substituir na função
:
Dessa forma, agora
está expressa em termos de
e
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as derivadas parciais
e
em termos de
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite expressar derivadas em coordenadas diferentes.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Pela regra da cadeia:
Mas precisamos expressar
e
em termos de
e
.
Passo 5
Sabemos que:
Então, as derivadas parciais são:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem. Pela regra da cadeia:
Calculando
e
:
Passo 8
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de
em relação a
e
expressas em termos de
e
são:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando
.
8a
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando :
.
8a
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia:
.
Calcule a derivada de cada função abaixo.
3a
Calcule a derivada de cada função abaixo: .
3a
Calcule a derivada de cada função abaixo:
Calcule a derivada de cada função abaixo:
.