Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
, a equação da reta tangente no ponto
do gráfico dessa função e também os pontos onde essa reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada,
, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Então, derivando cada termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 8.
Passo 4
Com a inclinação e o ponto
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto. Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação
. Então, igualamos a derivada a zero:
Agora, encontramos os valores de
substituindo
na função original:
Para
:
Para
:
Então, os pontos onde a reta tangente é horizontal são
e
.
Resposta
A derivada da função é
. A equação da reta tangente no ponto
é
. As retas tangentes são horizontais nos pontos
e
.