Para cada uma das funções dadas determine f'(x), determine a equação da reta tangente no ponto P do gráfico de f e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
f(x) = 3x^3 - x + 2 ; P = (1, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função , a equação da reta tangente no ponto do gráfico dessa função e também os pontos onde essa reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada, , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Então, derivando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos determinar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 8.

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Por último, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação . Então, igualamos a derivada a zero:
Agora, encontramos os valores de substituindo na função original:
Para :
Para :
Então, os pontos onde a reta tangente é horizontal são e .

Resposta

A derivada da função é . A equação da reta tangente no ponto é . As retas tangentes são horizontais nos pontos e .

Exercícios relacionados