Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty(-1)^n (x-1)^nraizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . A nossa missão é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo em que ela realmente converge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência para séries de potências.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o raio de convergência, a gente pode usar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de limn to infty raiz[n]| (-1)^n (x-1)^nraizn | a série vai dar certo. A ideia é calcular o limite:
limn to infty raiz[n]|x-1|^nraizn = |x - 1| cdot limn to infty 1n^1/(2n)
Simplificando isso, fica:
|x - 1|
Agora, sabemos que tende a 1 quando cresce, então o limite todo fica:

Passo 3

Segundo o Teste da Raiz, a série converge quando esse limite é menor que 1:
|x - 1| < 1
Isso significa que -1 < x - 1 < 1 implies 0 < x < 2 está a menos de 1 unidade de distância de 1. Daí, resolvendo a desigualdade:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar os pontos extremos do intervalo, ou seja, sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nraizn = sumn=1^infty 1raizn e sumn=1^infty (-1)^n 1^nraizn = sumn=1^infty (-1)^nraizn .
  • Para :
A série fica:
Essa é a série -harmônica com , que diverge.
  • Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada que satisfaz os critérios do Teste de Leibniz (os termos diminuem em módulo e tendem a zero), então converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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