Determine d f / d x em cada caso
f(x) = 1 / (x^4 + 3 x^2 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar funções. Precisamos conhecer como derivar polinômios e como manipular frações envolvendo funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar como um produto usando potências negativas:
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia de forma mais simples.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Se temos , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada de :
Isso foi feito derivando cada termo do polinômio separadamente.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções dadas determine f'(x), determine a equação da reta tangente no ponto P do gráfico de f e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
f(x) = 3x^3 - x + 2 ; P = (1, 4).
Considere a função g: [0, +infinito) -> R definida por g(x) = a*x^2 + 2*a*x + a^2 com -1 < a < 1. Mostre que o gráfico de g está compreendido na região delimitada pelo gráfico das funções g_min e g máximo definidas por g_min(x) = 1 - 2x - x^2 e g_max(x) = x^2 + x + 1
Uma partícula que se desloca no plano x y parte da origem no tempot t = 0 com velocidade inicial v = 2 ĵ. Sabendo que a aceleração da partícula é dada por a = -3i + 2t j, encontre a posição da partícula no tempo t = 2 s.
Determine d f / d x em cada caso
f(x) = (2*x^2 - 3*x + 2) / (x^3 - 2*x^2 + 1)