Determine d f / d x em cada caso
f(x) = 1 / (x^4 + 3 x^2 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar funções. Precisamos conhecer como derivar polinômios e como manipular frações envolvendo funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar como um produto usando potências negativas:
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia de forma mais simples.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Se temos , a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada de :
Isso foi feito derivando cada termo do polinômio separadamente.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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