Considere a função
definida por
com
. Mostre que o gráfico de
está compreendido na região delimitada pelo gráfico das funções
e
definidas por
e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida para
e com
. A missão aqui é mostrar que o gráfico dessa função está dentro da região limitada pelos gráficos das funções
e
. Para resolver isso, vamos precisar comparar
com
e
e ver se ela realmente fica entre elas.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função
de uma forma que facilite a comparação. A função dada é:
Podemos fatorar
dos dois primeiros termos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses para simplificar ainda mais:
Então:
Passo 4
Vamos reescrever
:
Agora, vamos analisar os limites de
. Sabemos que
.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar o valor mínimo de
. Como
e
, a expressão
vai variar dependendo do valor de
.
Para
:
E para
:
Passo 6
Agora, queremos mostrar que:
Isso significa que, para qualquer valor de
entre -1 e 1, o valor de
estará sempre entre
e
.
Passo 7
Vamos calcular a diferença entre
e
:
Para
, todos os coeficientes dessa expressão garantem que
.
Passo 8
Similarmente, vamos calcular a diferença entre
e
:
Novamente, para
, essa expressão é positiva, garantindo que
.
Resposta
Portanto, mostramos que para
, o gráfico da função
está compreendido na região delimitada pelos gráficos de
e
.
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Determine
em cada caso