Considere a função g: [0, +infinito) -> R definida por g(x) = a*x^2 + 2*a*x + a^2 com -1 < a < 1. Mostre que o gráfico de g está compreendido na região delimitada pelo gráfico das funções g_min e g máximo definidas por g_min(x) = 1 - 2x - x^2 e g_max(x) = x^2 + x + 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida para e com . A missão aqui é mostrar que o gráfico dessa função está dentro da região limitada pelos gráficos das funções e . Para resolver isso, vamos precisar comparar com e e ver se ela realmente fica entre elas.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função de uma forma que facilite a comparação. A função dada é:
Podemos fatorar dos dois primeiros termos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses para simplificar ainda mais:
Então:

Passo 4

Vamos reescrever :
Agora, vamos analisar os limites de . Sabemos que .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o valor mínimo de . Como e , a expressão vai variar dependendo do valor de .
Para :
E para :

Passo 6

Agora, queremos mostrar que:
Isso significa que, para qualquer valor de entre -1 e 1, o valor de estará sempre entre e .

Passo 7

Vamos calcular a diferença entre e :
Para , todos os coeficientes dessa expressão garantem que .

Passo 8

Similarmente, vamos calcular a diferença entre e :
Novamente, para , essa expressão é positiva, garantindo que .

Resposta

Portanto, mostramos que para , o gráfico da função está compreendido na região delimitada pelos gráficos de e .

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