Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e o ponto
no gráfico dessa função. Nosso objetivo é:
- Encontrar a derivada
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. - Determinar a equação da reta tangente nesse ponto
. - Descobrir onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde sua inclinação é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, quão inclinada está a curva naquele ponto.
Para derivar
, usamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso:
Que também pode ser escrito como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto
. A fórmula da reta tangente é:
Onde
é o ponto de tangência. Aqui,
e
. Primeiro, calculamos
:
Então, a equação da reta tangente fica:
Simplificando para a forma geral:
Passo 4
Por fim, vamos descobrir onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja,
.
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o expoente negativo:
Isolando
:
Calculando o valor numérico:
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é aproximadamente
. Calculando
:
Portanto, o ponto é aproximadamente
.
Resposta
- A derivada da função é
. - A equação da reta tangente no ponto
é . - A reta tangente é horizontal no ponto aproximado
.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
.