Para cada uma das funções dadas determine f'(x), determine a equação da reta tangente no ponto P do gráfico de f e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
f(x) = x^(3/4) - x^2 + 3 ; P = (1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e o ponto no gráfico dessa função. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
  2. Determinar a equação da reta tangente nesse ponto .
  3. Descobrir onde a reta tangente é horizontal, ou seja, onde sua inclinação é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, quão inclinada está a curva naquele ponto.
Para derivar , usamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso:
Que também pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto . A fórmula da reta tangente é:
Onde é o ponto de tangência. Aqui, e . Primeiro, calculamos :
Então, a equação da reta tangente fica:
Simplificando para a forma geral:

Passo 4

Por fim, vamos descobrir onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, .
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o expoente negativo:
Isolando :
Calculando o valor numérico:
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é aproximadamente . Calculando :
Portanto, o ponto é aproximadamente .

Resposta

  1. A derivada da função é .
  2. A equação da reta tangente no ponto é .
  3. A reta tangente é horizontal no ponto aproximado .

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Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
f(x) = 4 x^(3/4) - 2 x^3 - 4 x + 2.