Mostre que raiz(1 + sen(x)) = cos(x / 2) + sen(x / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que . Aqui, estamos lidando com identidades trigonométricas, especificamente trabalhando com funções seno e cosseno. Para resolver isso, a gente vai precisar usar algumas propriedades e identidades trigonométricas básicas, além de manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a comparação, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Isso vai nos ajudar a eliminar a raiz quadrada e simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos simplificar ambos os lados:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, vamos expandir o quadrado da soma:

Passo 4

Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Então, aplicando isso no nosso caso:
Então, a expressão do lado direito fica:

Passo 5

Agora, observe que é uma identidade que resulta em . Aplicando isso:

Resposta

Como chegamos na mesma expressão dos dois lados, a igualdade está comprovada. Portanto,

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