integral1^2 integral0^pi2 3 y^2 x sen(x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me enviou:
integral1^2 integral0^pi2 3 y^2 x sin(x) , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, aquela que está em termos de integral0^pi2 3 y^2 x sin(x) , dx :
3 y^2 integral0^pi2 x sin(x) , dx
Como é tratado como uma constante nessa parte da integral, podemos tirá-lo para fora:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x)
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de [ -x cos(x) + sin(x) ]0^pi2 = ( -pi2 cos(pi2) + sin(pi2) ) - ( -0 cdot cos(0) + sin(0) ) a = ( -pi2 cdot 0 + 1 ) - ( 0 + 0 ) = 1 :
3 y^2 cdot 1 = 3 y^2
Sabemos que , , e , então:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral1^2 3 y^2 , dy :
integral y^n , dy = y^n+1n+1 + C
Isso é uma integral simples de potência. A fórmula básica é:
3 integral y^2 , dy = 3 ( y^33 ) = y^3
Aplicando isso aqui:

Passo 6

Aplicando os limites de [ y^3 ]1^2 = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 a :

Resposta

O valor da integral dupla é 7.

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções dadas determine f'(x), determine a equação da reta tangente no ponto P do gráfico de f e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
f(x) = x^(3/4) - x^2 + 3 ; P = (1, 3).
integral1^3 integral0^1 raizx+y^2 d x d y
Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
f(x) = 4 x^(3/4) - 2 x^3 - 4 x + 2.
Determine d f / d x em cada caso
f(x) = (2 x - 3)^5 (6 x + 2)^4.