Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e um ponto específico
no gráfico dessa função. A questão quer que encontremos:
- A derivada
. - A equação da reta tangente no ponto
. - Os pontos onde a reta tangente é horizontal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e a ideia de tangentes a curvas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada
da função. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função é
. Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é 1. - A derivada de uma constante (-1) é 0.
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, queremos a equação da reta tangente no ponto
. A fórmula geral da reta tangente é:
Onde
é o ponto de tangência. Aqui,
e
.
Primeiro, vamos calcular
:
Sabendo que
, então
. Assim:
Agora, substituindo na fórmula da reta:
Se preferir, podemos deixar assim ou resolver para
:
Passo 4
Por último, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja,
.
Vamos resolver:
Isolando
:
Aqui percebemos um problema:
é sempre positivo para
, já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo. Portanto, não existe nenhum
real que satisfaça essa equação. Isso significa que não há pontos na função onde a reta tangente é horizontal.
Resposta
-
A derivada da função é
. -
A equação da reta tangente no ponto
é . -
Não há pontos na função onde a reta tangente é horizontal.
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.
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e
.
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.