Para cada uma das funções dadas determine , determine a equação da reta tangente no ponto do gráfico de e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e um ponto específico no gráfico dessa função. A questão quer que encontremos:
  1. A derivada .
  2. A equação da reta tangente no ponto .
  3. Os pontos onde a reta tangente é horizontal.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e a ideia de tangentes a curvas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função é . Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é 1.
  • A derivada de uma constante (-1) é 0.
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, queremos a equação da reta tangente no ponto . A fórmula geral da reta tangente é:
Onde é o ponto de tangência. Aqui, e .
Primeiro, vamos calcular :
Sabendo que , então . Assim:
Agora, substituindo na fórmula da reta:
Se preferir, podemos deixar assim ou resolver para :

Passo 4

Por último, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, .
Vamos resolver:
Isolando :
Aqui percebemos um problema: é sempre positivo para , já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo. Portanto, não existe nenhum real que satisfaça essa equação. Isso significa que não há pontos na função onde a reta tangente é horizontal.

Resposta

  1. A derivada da função é .
  2. A equação da reta tangente no ponto é .
  3. Não há pontos na função onde a reta tangente é horizontal.

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