Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos e os máximos/mínimos locais da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de extrema. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero ou não está definida, e então verificar se esses pontos são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são lugares onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar picos (máximos) ou vales (mínimos) no gráfico da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do produto, onde se e , então:
Calculando e :
Portanto:

Passo 4

Vamos simplificar a derivada para facilitar a resolução. Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Isso ocorre quando:
  1. não está definido, ou seja, quando .
  2. .
Então, os pontos críticos são e .

Passo 6

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da derivada segunda ou analisar o comportamento da derivada em torno desses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada :
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:

Passo 7

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para :
    A segunda derivada não está definida, então não podemos concluir diretamente. Mas observando a função original, vemos que ela tem um comportamento de mínimo aí.
  2. Para :
    Substituindo na segunda derivada:
    O cálculo mostra que , indicando que é um ponto de máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . O ponto corresponde a um mínimo local, e é um máximo local.

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