Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos críticos e os máximos/mínimos locais da função
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de extrema. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero ou não está definida, e então verificar se esses pontos são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos são lugares onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar picos (máximos) ou vales (mínimos) no gráfico da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do produto, onde se
e
, então:
Calculando
e
:
Portanto:
Passo 4
Vamos simplificar a derivada para facilitar a resolução. Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Isso ocorre quando:
-
não está definido, ou seja, quando . -
→ → .
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para isso, podemos usar o teste da derivada segunda ou analisar o comportamento da derivada em torno desses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Passo 7
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
-
Para
:
A segunda derivada não está definida, então não podemos concluir diretamente. Mas observando a função original, vemos que ela tem um comportamento de mínimo aí. -
Para
:
Substituindo na segunda derivada:O cálculo mostra que, indicando que é um ponto de máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. O ponto
corresponde a um mínimo local, e
é um máximo local.
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Use diferenciais para encontrar um valor aproximado das quantidades dadas.
Use a aproximação linear
para estimar os seguintes valores
. Dica: Use
e
na fórmula de aproximação linear do enunciado.
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Para cada uma das funções dadas determine
, determine a equação da reta tangente no ponto
do gráfico de
e os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.
.