Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule a derivada: f(x) = sen(ln(2 x + 3)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada da função . A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Aqui temos uma função seno que está aplicando o logaritmo natural ( ) de . Então, basicamente, temos uma função dentro da outra: , onde .

Passo 3

Para derivar essa função composta, usamos a regra da cadeia. Essa regra diz que se você tem uma função , a derivada é .

Passo 4

Vamos começar derivando a parte externa, que é . A derivada de em relação a é . Então, até aqui, temos .

Passo 5

Agora, precisamos derivar a parte interna, que é . A derivada de em relação a é . Então, a derivada de é multiplicada pela derivada de , que é 2.

Passo 6

Finalmente, juntamos as duas partes usando a regra da cadeia. Multiplicamos a derivada da parte externa pela derivada da parte interna:

Resposta

A derivada de é:

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