Usando o método da variação da constantes arbitrárias (também conhecido como método da variação dos parâmetros), determine a solução geral das EDOs lineares a seguir.
x dy/dx + x^2 y = e^(-x^2 / 2)
y = (C + ln x) e^(-x^2 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:

Vamos usar o método da variação das constantes arbitrárias, que é uma técnica para encontrar soluções gerais de equações lineares. Para isso, precisamos identificar os coeficientes e preparar a equação para aplicar a técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:

Dividindo tudo por para isolar :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Calculando a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Calculando a integral:

Então:

Passo 7

Isolando , dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO dada é:

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