Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
b) z=x y e^(x^2+y^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar derivar a função em relação a e , aplicando essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = y cdot e^x^2+y^2 + x y cdot e^x^2+y^2 cdot 2x em relação a partial zpartial x = y e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) , ou seja, .
A função é o produto de três partes: , e . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de funções é a soma das derivadas de cada função multiplicadas pelas demais funções inalteradas.
Aqui, derivamos em relação a (que dá 1) e aplicamos a regra da cadeia para derivar , resultando em .
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = x cdot e^x^2+y^2 + x y cdot e^x^2+y^2 cdot 2y em relação a partial zpartial y = x e^x^2+y^2 (1 + 2y^2) , ou seja, .
Aplicando a regra do produto novamente:
Aqui, derivamos em relação a (que dá 1) e aplicamos a regra da cadeia para derivar , resultando em .
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial x = y e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) em relação a partial^2 zpartial x^2 = y cdot e^x^2+y^2 cdot 4x + y cdot e^x^2+y^2 cdot (1 + 2x^2) cdot 2x , ou seja, partial^2 zpartial x^2 = y e^x^2+y^2 (4x + 2x + 4x^3) = y e^x^2+y^2 (6x + 4x^3) .
Já temos a primeira derivada:
Agora, derivamos essa expressão novamente em relação a . Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial y = x e^x^2+y^2 (1 + 2y^2) em relação a partial^2 zpartial y^2 = x cdot e^x^2+y^2 cdot 4y + x cdot e^x^2+y^2 cdot (1 + 2y^2) cdot 2y , ou seja, partial^2 zpartial y^2 = x e^x^2+y^2 (4y + 4y + 4y^3) = x e^x^2+y^2 (8y + 4y^3) .
Primeiro, temos a primeira derivada:
Derivando novamente em relação a :
Simplificando:

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada parcial mista de partial zpartial x = y e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) em relação a partial^2 zpartial x partial y = e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) + y cdot e^x^2+y^2 cdot 2y (1 + 2x^2) e partial^2 zpartial x partial y = e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) + 2y^2 e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) = e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) (1 + 2y^2) , ou seja, .
Começamos com a primeira derivada em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função partial zpartial x = y e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) são:
partial zpartial y = x e^x^2+y^2 (1 + 2y^2)
partial^2 zpartial x^2 = y e^x^2+y^2 (6x + 4x^3)
partial^2 zpartial y^2 = x e^x^2+y^2 (8y + 4y^3)
partial^2 zpartial x partial y = e^x^2+y^2 (1 + 2x^2) (1 + 2y^2)

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