Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar derivar a função em relação a
e
, aplicando essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é o produto de três partes:
,
e
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de funções é a soma das derivadas de cada função multiplicadas pelas demais funções inalteradas.
Aqui, derivamos
em relação a
(que dá 1) e aplicamos a regra da cadeia para derivar
, resultando em
.
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aplicando a regra do produto novamente:
Aqui, derivamos
em relação a
(que dá 1) e aplicamos a regra da cadeia para derivar
, resultando em
.
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Já temos a primeira derivada:
Agora, derivamos essa expressão novamente em relação a
. Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, temos a primeira derivada:
Derivando novamente em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada parcial mista de
em relação a
e
, ou seja,
.
Começamos com a primeira derivada em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Determine o valor dos seguintes limites:
® .
®
Escreva a equação da curva de nível da função
que passa pelo ponto
.
Limites que representam a taxa de variação instantânea
aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(d) , no ponto
.
(d)
Comprove que a função
e
uma constante não nula, satisfaz a equação do calor