Limites que representam a taxa de variação instantânea
aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(d)
, no ponto
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a taxa de variação instantânea da função
no ponto
. Isso envolve calcular um limite que nos dá a derivada da função naquele ponto. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a definição do limite que representa a taxa de variação instantânea:
Substituindo
na expressão, temos:
Passo 3
Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é
:
Passo 4
Agora, podemos simplificar o
no numerador e no denominador:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
A taxa de variação instantânea da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
b)
b)
Determine o valor dos seguintes limites:
® .
®
Comprove que a função
e
uma constante não nula, satisfaz a equação do calor
Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
(d) .
(d)