Limites que representam a taxa de variação instantânea lim h 0 f(x+h)-f(x)h aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(d) f(x)=raizx+1, no ponto x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a taxa de variação instantânea da função no ponto . Isso envolve calcular um limite que nos dá a derivada da função naquele ponto. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição do limite que representa a taxa de variação instantânea:
limh 0 f(0+h) - f(0)h
Substituindo limh 0 raiz0 + h + 1 - raiz0 + 1h = limh 0 raizh + 1 - 1h na expressão, temos:

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é raizh + 1 - 1h times raizh + 1 + 1raizh + 1 + 1 = (raizh + 1)^2 - 1^2h(raizh + 1 + 1) = h + 1 - 1h(raizh + 1 + 1) = hh(raizh + 1 + 1) :

Passo 4

Agora, podemos simplificar o hh(raizh + 1 + 1) = 1raizh + 1 + 1 no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite quando limh 0 1raizh + 1 + 1 = 1raiz0 + 1 + 1 = 11 + 1 = 12 tende a 0:

Resposta

A taxa de variação instantânea da função no ponto é .

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