Limites que representam a taxa de variação instantânea lim h 0 f(x+h)-f(x)h aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(d) f(x)=raizx+1, no ponto x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a taxa de variação instantânea da função no ponto . Isso envolve calcular um limite que nos dá a derivada da função naquele ponto. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a definição do limite que representa a taxa de variação instantânea:
limh 0 f(0+h) - f(0)h
Substituindo limh 0 raiz0 + h + 1 - raiz0 + 1h = limh 0 raizh + 1 - 1h na expressão, temos:

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é raizh + 1 - 1h times raizh + 1 + 1raizh + 1 + 1 = (raizh + 1)^2 - 1^2h(raizh + 1 + 1) = h + 1 - 1h(raizh + 1 + 1) = hh(raizh + 1 + 1) :

Passo 4

Agora, podemos simplificar o hh(raizh + 1 + 1) = 1raizh + 1 + 1 no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite quando limh 0 1raizh + 1 + 1 = 1raiz0 + 1 + 1 = 11 + 1 = 12 tende a 0:

Resposta

A taxa de variação instantânea da função no ponto é .

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
b) z=x y e^(x^2+y^2)
Determine o valor dos seguintes limites:
® lim x 4 raizx-2raizx+2-raiz6.
Comprove que a função mu(x, t)=1raizt e^(-x^24 k t), t>0 e k uma constante não nula, satisfaz a equação do calor
partial zpartial t-k partial^2 zpartial x^2=0
Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
(d) lim x -infty e^x cos (1x).