Determine o valor dos seguintes limites:
®
.
®
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o valor do limite
. Esse tipo de problema está relacionado a limites de funções, um assunto fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes quadradas e aplicar técnicas de álgebra para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente acaba com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites que resultam em
é a racionalização. Vamos racionalizar tanto o numerador quanto o denominador para eliminar as raízes quadradas.
Vamos começar com o numerador
. Para racionalizar, multiplicamos por seu conjugado
:
Agora, o denominador
. Fazemos o mesmo, multiplicando pelo conjugado
:
Passo 4
Agora, substituímos as versões racionalizadas na expressão original do limite:
Perceba que o fator
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
Passo 5
Agora, podemos substituir
na expressão simplificada sem obter uma forma indeterminada:
Resposta
O valor do limite é
.
Exercícios relacionados
Escreva a equação da curva de nível da função
que passa pelo ponto
.
Se
e
, qual o valor de
?
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
b)
b)
Limites que representam a taxa de variação instantânea
aparecem frequentemente. Determine esta taxa (este limite) para os seguintes casos:
(d) , no ponto
.
(d)