Determine o valor dos seguintes limites:
® lim x 4 raizx-2raizx+2-raiz6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o valor do limite . Esse tipo de problema está relacionado a limites de funções, um assunto fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes quadradas e aplicar técnicas de álgebra para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz4-2raiz4+2-raiz6 = 2-2raiz6-raiz6 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente acaba com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que resultam em raizx - 21 times raizx + 2raizx + 2 = x - 4raizx + 2 é a racionalização. Vamos racionalizar tanto o numerador quanto o denominador para eliminar as raízes quadradas.
Vamos começar com o numerador raizx+2 - raiz61 times raizx+2 + raiz6raizx+2 + raiz6 = (x+2) - 6raizx+2 + raiz6 = x - 4raizx+2 + raiz6 . Para racionalizar, multiplicamos por seu conjugado :
Agora, o denominador . Fazemos o mesmo, multiplicando pelo conjugado :

Passo 4

Agora, substituímos as versões racionalizadas na expressão original do limite:
lim x 4 x - 4raizx + 2x - 4raizx+2 + raiz6
Perceba que o fator lim x 4 1raizx + 2 times raizx+2 + raiz61 = lim x 4 raizx+2 + raiz6raizx + 2 aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:

Passo 5

Agora, podemos substituir raiz4+2 + raiz6raiz4 + 2 = raiz6 + raiz62 + 2 = 2raiz64 = raiz62 na expressão simplificada sem obter uma forma indeterminada:

Resposta

O valor do limite é .

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