Comprove que a função mu(x, t)=1raizt e^(-x^24 k t), t>0 e k uma constante não nula, satisfaz a equação do calor
partial zpartial t-k partial^2 zpartial x^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função partial zpartial t-k partial^2 zpartial x^2=0 , onde e é uma constante diferente de zero. A missão aqui é mostrar que essa função satisfaz a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. Ou seja, vamos verificar se, ao aplicar as derivadas necessárias na função , ela se encaixa na equação do calor dada por:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . A função tem dois fatores que dependem de : e .
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Vamos derivar ddt(1raizt) = -12 t^-3/2 = -12 t^3/2 em relação a ddt(e^(-x^24 k t)) = e^(-x^24 k t) cdot (x^24 k t^2) :
Agora, derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial.

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto na função partial mupartial t = (-12 t^3/2) e^(-x^24 k t) + 1raizt cdot e^(-x^24 k t) cdot (x^24 k t^2) :
partial mupartial t = e^(-x^24 k t) (-12 t^3/2 + x^24 k t^5/2)
Podemos simplificar isso fatorando e :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial mupartial x = 1raizt cdot e^(-x^24 k t) cdot (-2x4 k t) = -x2 k t raizt e^(-x^24 k t) em relação a partial^2 mupartial x^2 = partialpartial x(-x2 k t raizt e^(-x^24 k t)) , que é partial^2 mupartial x^2 = -12 k t raizt e^(-x^24 k t) + x^24 k^2 t^2 t^1/2 e^(-x^24 k t) .
Primeiro, a primeira derivada em relação a partial^2 mupartial x^2 = e^(-x^24 k t) (-12 k t raizt + x^24 k^2 t^5/2) :
Agora, a segunda derivada:
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir partial mupartial t - k partial^2 mupartial x^2 = e^(-x^24 k t) (-12 t^3/2 + x^24 k t^5/2) - k cdot e^(-x^24 k t) (-12 k t raizt + x^24 k^2 t^5/2) e = e^(-x^24 k t) (-12 t^3/2 + x^24 k t^5/2 + 12 t^3/2 - x^24 k t^5/2) na equação do calor:
Distribuindo o na segunda parte:

Passo 7

Observamos que os termos se cancelam:
-12 t^3/2 + 12 t^3/2 = 0
e
x^24 k t^5/2 - x^24 k t^5/2 = 0
Portanto:
partial mupartial t - k partial^2 mupartial x^2 = 0

Resposta

Viu só? A função realmente satisfaz a equação do calor .

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