Comprove que a função
e
uma constante não nula, satisfaz a equação do calor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
e
é uma constante diferente de zero. A missão aqui é mostrar que essa função satisfaz a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. Ou seja, vamos verificar se, ao aplicar as derivadas necessárias na função
, ela se encaixa na equação do calor dada por:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. A função
tem dois fatores que dependem de
:
e
.
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial.
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto na função
:
Podemos simplificar isso fatorando
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Primeiro, a primeira derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Aplicando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na equação do calor:
Distribuindo o
na segunda parte:
Passo 7
Observamos que os termos se cancelam:
e
Portanto:
Resposta
Viu só? A função
realmente satisfaz a equação do calor
.