Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
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Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
a) z=3 x^2 y^3-5 x^3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a e . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções com mais de uma variável, mantendo uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x(3x^2y^3) - partialpartial x(5x^3y^2) em relação a = 3 cdot 2x^1y^3 - 5 cdot 3x^2y^2 , ou seja, = 6xy^3 - 15x^2y^2 . Isso significa que vamos tratar como uma constante e derivar a função em relação a .
Diferenciando termo a termo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y(3x^2y^3) - partialpartial y(5x^3y^2) em relação a = 3x^2 cdot 3y^2 - 5x^3 cdot 2y^1 , = 9x^2y^2 - 10x^3y . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .
Diferenciando termo a termo:

Passo 4

Agora vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x(6xy^3) - partialpartial x(15x^2y^2) , = 6y^3 - 15 cdot 2x y^2 . Isso significa derivar novamente = 6y^3 - 30xy^2 em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, a segunda derivada parcial em relação a partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y(9x^2y^2) - partialpartial y(10x^3y) , = 9x^2 cdot 2y - 10x^3 . Vamos derivar = 18x^2y - 10x^3 em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada mista partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y(6xy^3) - partialpartial y(15x^2y^2) . Isso significa derivar = 6x cdot 3y^2 - 15x^2 cdot 2y em relação a = 18xy^2 - 30x^2y .
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 6xy^3 - 15x^2y^2
partial zpartial y = 9x^2y^2 - 10x^3y
partial^2 zpartial x^2 = 6y^3 - 30xy^2
partial^2 zpartial y^2 = 18x^2y - 10x^3
partial^2 zpartial x partial y = 18xy^2 - 30x^2y

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