Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
37a
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
a)
37a
Para cada uma das funções
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e precisa calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a
e
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções com mais de uma variável, mantendo uma variável constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante e derivar a função em relação a
.
Diferenciando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Diferenciando termo a termo:
Passo 4
Agora vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a
,
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, a segunda derivada parcial em relação a
,
. Vamos derivar
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada mista
. Isso significa derivar
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais são: