Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é diferenciável usando o Teorema 3. Estamos lidando com funções de duas variáveis, então vamos precisar entender um pouco sobre diferenciação nesse contexto. Para resolver isso, vamos analisar a continuidade da função e calcular as derivadas parciais no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, se uma função é diferenciável em um ponto, ela não só é contínua ali, mas também tem derivadas parciais que se comportam bem nesse ponto. Isso implica que podemos aproximar a função por um plano tangente naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade da função no ponto (0,0). A função é dada por:
Para verificar a continuidade em (0,0), precisamos ver se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0), que é 0.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares onde
e
. Assim, o limite se transforma em:
Portanto, o limite é 0, igual a f(0,0). Logo, a função é contínua em (0,0).
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais são dadas por:
Vamos calcular cada uma.
Passo 6
Calculando
:
Calculando
:
Então,
e
.
Passo 7
Com a continuidade verificada e as derivadas parciais existentes e iguais a zero, podemos concluir, segundo o Teorema 3, que a função é diferenciável em (0,0).
Resposta
A função
é diferenciável no ponto (0,0).
Exercícios relacionados
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
32.
32.
Determine os seguintes limites:
(w) .
(w)
Determine os seguintes limites:
(l) .
(l)
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
37a
Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule
,
e
a)
37a
Para cada uma das funções
a)