Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis.
f(x, y) = { (x * y^3) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função dada é diferenciável usando o Teorema 3. Estamos lidando com funções de duas variáveis, então vamos precisar entender um pouco sobre diferenciação nesse contexto. Para resolver isso, vamos analisar a continuidade da função e calcular as derivadas parciais no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, se uma função é diferenciável em um ponto, ela não só é contínua ali, mas também tem derivadas parciais que se comportam bem nesse ponto. Isso implica que podemos aproximar a função por um plano tangente naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade da função no ponto (0,0). A função é dada por:
Para verificar a continuidade em (0,0), precisamos ver se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0), que é 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares onde e . Assim, o limite se transforma em:
Portanto, o limite é 0, igual a f(0,0). Logo, a função é contínua em (0,0).

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f em (0,0). As derivadas parciais são dadas por:
Vamos calcular cada uma.

Passo 6

Calculando :
Calculando :
Então, e .

Passo 7

Com a continuidade verificada e as derivadas parciais existentes e iguais a zero, podemos concluir, segundo o Teorema 3, que a função é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função é diferenciável no ponto (0,0).

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