Descreva o sólido descrito por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever um sólido definido por algumas condições usando coordenadas esféricas. A gente vai trabalhar com Coordenadas Esféricas, que ajudam a localizar pontos no espaço usando um raio, um ângulo polar e um ângulo azimutal. Vamos precisar entender o que cada uma dessas condições significa para saber qual é o sólido que estamos descrevendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rápida o que cada símbolo representa nas coordenadas esféricas:
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: é a distância do ponto até a origem. No caso, significa que estamos falando de todos os pontos que estão a uma distância de, no máximo, 3 unidades da origem. -
: é o ângulo polar, que vai do eixo positivo z para o ponto. Aqui, indica que estamos considerando pontos que estão desde o plano xy (quando ) até o eixo negativo z (quando ). -
: é o ângulo azimutal, que gira ao redor do eixo z. O intervalo cobre todo o círculo completo, ou seja, todos os ângulos possíveis ao redor do z.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada condição:
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: Isso descreve uma esfera com raio 3 centrada na origem. Todos os pontos dentro ou na superfície dessa esfera satisfazem essa condição. -
: Como está no plano xy e está no eixo negativo z, esse intervalo cobre a metade inferior da esfera (abaixo do plano xy). -
: Isso significa que estamos cobrindo todo o círculo ao redor do eixo z, sem restrições no ângulo azimutal.
Passo 4
Juntando tudo, o que temos é uma esfera de raio 3, mas só a parte inferior dela (abaixo do plano xy). Já que
limita o tamanho,
corta a esfera na metade inferior, e
garante que essa metade inferior está completa em torno do eixo z.
Resposta
O sólido descrito é a meia-esfera inferior de raio 3 centrada na origem, abrangendo todos os pontos com distância até 3 unidades da origem e localizados abaixo do plano xy.