Descreva o sólido descrito por rho <= 3, pi/2 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descrever um sólido definido por algumas condições usando coordenadas esféricas. A gente vai trabalhar com Coordenadas Esféricas, que ajudam a localizar pontos no espaço usando um raio, um ângulo polar e um ângulo azimutal. Vamos precisar entender o que cada uma dessas condições significa para saber qual é o sólido que estamos descrevendo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rápida o que cada símbolo representa nas coordenadas esféricas:
  • rho: é a distância do ponto até a origem. No caso, significa que estamos falando de todos os pontos que estão a uma distância de, no máximo, 3 unidades da origem.
  • phi: é o ângulo polar, que vai do eixo positivo z para o ponto. Aqui, indica que estamos considerando pontos que estão desde o plano xy (quando ) até o eixo negativo z (quando ).
  • theta: é o ângulo azimutal, que gira ao redor do eixo z. O intervalo cobre todo o círculo completo, ou seja, todos os ângulos possíveis ao redor do z.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada condição:
  1. : Isso descreve uma esfera com raio 3 centrada na origem. Todos os pontos dentro ou na superfície dessa esfera satisfazem essa condição.
  2. : Como está no plano xy e está no eixo negativo z, esse intervalo cobre a metade inferior da esfera (abaixo do plano xy).
  3. : Isso significa que estamos cobrindo todo o círculo ao redor do eixo z, sem restrições no ângulo azimutal.

Passo 4

Juntando tudo, o que temos é uma esfera de raio 3, mas só a parte inferior dela (abaixo do plano xy). Já que limita o tamanho, corta a esfera na metade inferior, e garante que essa metade inferior está completa em torno do eixo z.

Resposta

O sólido descrito é a meia-esfera inferior de raio 3 centrada na origem, abrangendo todos os pontos com distância até 3 unidades da origem e localizados abaixo do plano xy.

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