Esboce e descreva o sólido cujo volume é dado pela integral integral0^1 integral0^1-x integral0^2-2 x d y d z d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla que representa o volume de um sólido. A integral dada é:
integral0^1 integral0^1-x integral0^2-2x dy, dz, dx
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas, especificamente integrais triplas.
O que precisamos para resolver:
  1. Entender os limites de integração para cada variável.
  2. Visualizar como esses limites definem o sólido no espaço tridimensional.
  3. Esboçar e descrever o sólido com base nesses limites.

Passo 2

Vamos analisar os limites de integração para cada variável:
  • Primeira integral (externa): varia de 0 a 1.
  • Segunda integral: Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Terceira integral (interna): Para cada par de valores , varia de 0 a .
Isso significa que, para cada entre 0 e 1, varia entre 0 e , e para cada combinação de e , varia entre 0 e .

Passo 3

Vamos visualizar o sólido no espaço tridimensional:
  1. Eixo : Vai de 0 a 1.
  2. Eixo : Para cada , vai de 0 a . Isso descreve uma região triangular no plano , pois quando , vai até 1, e quando , vai até 0.
  3. Eixo : Para cada , vai de 0 a . Isso significa que a altura no eixo diminui linearmente à medida que aumenta.

Passo 4

Vamos descrever cada face do sólido:
  • Base no plano : Um triângulo com vértices em , e .
  • Altura no eixo : A altura máxima é 2 quando e diminui até 0 quando , formando uma face inclinada no plano .

Passo 5

Com base na análise, o sólido é um prisma triangular inclinado. A base é um triângulo no plano e a altura varia linearmente ao longo do eixo , resultando em uma forma tridimensional com faces planas inclinadas.

Resposta

O sólido descrito pela integral dada é um prisma triangular inclinado, onde a base é um triângulo no plano com vértices em , e , e a altura ao longo do eixo varia linearmente de 2 a 0 conforme vai de 0 a 1.

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