Esboce e descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral tripla que representa o volume de um sólido. A integral dada é:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas, especificamente integrais triplas.
O que precisamos para resolver:
- Entender os limites de integração para cada variável.
- Visualizar como esses limites definem o sólido no espaço tridimensional.
- Esboçar e descrever o sólido com base nesses limites.
Passo 2
Vamos analisar os limites de integração para cada variável:
- Primeira integral (externa):
varia de 0 a 1. - Segunda integral: Para cada valor de
, varia de 0 a . - Terceira integral (interna): Para cada par de valores
, varia de 0 a .
Isso significa que, para cada
entre 0 e 1,
varia entre 0 e
, e para cada combinação de
e
,
varia entre 0 e
.
Passo 3
Vamos visualizar o sólido no espaço tridimensional:
- Eixo
: Vai de 0 a 1. - Eixo
: Para cada , vai de 0 a . Isso descreve uma região triangular no plano , pois quando , vai até 1, e quando , vai até 0. - Eixo
: Para cada , vai de 0 a . Isso significa que a altura no eixo diminui linearmente à medida que aumenta.
Passo 4
Vamos descrever cada face do sólido:
- Base no plano
: Um triângulo com vértices em , e . - Altura no eixo
: A altura máxima é 2 quando e diminui até 0 quando , formando uma face inclinada no plano .
Passo 5
Com base na análise, o sólido é um prisma triangular inclinado. A base é um triângulo no plano
e a altura varia linearmente ao longo do eixo
, resultando em uma forma tridimensional com faces planas inclinadas.
Resposta
O sólido descrito pela integral dada é um prisma triangular inclinado, onde a base é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
, e a altura ao longo do eixo
varia linearmente de 2 a 0 conforme
vai de 0 a 1.