Se f é uma função real de uma variável real, derivável até a 2 a. ordem, verifique que z(x, t)=f(x-c t), sendo c uma constante, satisfaz a equação da onda
partial^2 zpartial t^2-c^2 partial^2 zpartial x^2=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função partial^2 zpartial t^2 - c^2 partial^2 zpartial x^2 = 0 , onde é uma função diferenciável até a segunda ordem e é uma constante. Precisamos verificar se essa função satisfaz a equação da onda:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas de em relação a e .

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial zpartial t = f'(xi) cdot partial xipartial t em relação a partial zpartial t = -c f'(xi) . Lembre-se que , onde . Pela regra da cadeia:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial t^2 = partialpartial t ( -c f'(xi) ) = -c cdot f''(xi) cdot partial xipartial t em relação a partial^2 zpartial t^2 = -c cdot f''(xi) cdot (-c) = c^2 f''(xi) :
Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial x = f'(xi) cdot partial xipartial x em relação a partial zpartial x = f'(xi) :
Sabemos que , então:

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( f'(xi) ) = f''(xi) cdot partial xipartial x em relação a partial^2 zpartial x^2 = f''(xi) :
Como , temos:

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação da onda:
partial^2 zpartial t^2 - c^2 partial^2 zpartial x^2 = c^2 f''(xi) - c^2 f''(xi) = 0
Isso mostra que a função satisfaz a equação da onda.

Resposta

A função satisfaz a equação da onda .

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