Se
é uma função real de uma variável real, derivável até a 2 a. ordem, verifique que
, sendo
uma constante, satisfaz a equação da onda
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
, onde
é uma função diferenciável até a segunda ordem e
é uma constante. Precisamos verificar se essa função satisfaz a equação da onda:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas de
em relação a
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que
, onde
. Pela regra da cadeia:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Como
, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação da onda:
Isso mostra que a função
satisfaz a equação da onda.
Resposta
A função
satisfaz a equação da onda
.
Exercícios relacionados
Esboce e descreva o sólido cujo volume é dado pela integral
.
Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
c)
c)
Usando os limites fundamentais:
(b)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
11) .
11)