Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e derivação, especificamente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função envolve duas partes que impõem restrições:
  1. A raiz quadrada: A expressão dentro da raiz, , deve ser maior ou igual a zero para que a raiz exista. Então:
    Resolvendo essa desigualdade:
  2. O logaritmo natural: O argumento do logaritmo, , deve ser maior que zero:
    Isso já está garantido pela restrição anterior, pois a raiz quadrada de um número não negativo é sempre não negativa, e para ser maior que zero, deve ser estritamente maior que zero:
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos funções compostas.
A função é:
Podemos reescrever a raiz como potência:
Agora, derivamos em relação a :
A derivada de em relação a é , e então multiplicamos pela derivada de em relação a :
Simplificando:

Resposta

O domínio da função é e a derivada de primeira ordem é:

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Encontre em cada uma das equações que, implicitamente, definem como função de .
b)
Encontre em cada uma das equações que, implicitamente, definem como função de .
a)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
i)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
b)