Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e derivação, especificamente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
envolve duas partes que impõem restrições:
-
A raiz quadrada: A expressão dentro da raiz,
, deve ser maior ou igual a zero para que a raiz exista. Então: Resolvendo essa desigualdade: -
O logaritmo natural: O argumento do logaritmo,
, deve ser maior que zero: Isso já está garantido pela restrição anterior, pois a raiz quadrada de um número não negativo é sempre não negativa, e para ser maior que zero,deve ser estritamente maior que zero:
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos funções compostas.
A função é:
Podemos reescrever a raiz como potência:
Agora, derivamos
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, e então multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
O domínio da função é
e a derivada de primeira ordem é:
Exercícios relacionados
Encontre
em cada uma das equações que, implicitamente, definem
como função de
.
b)
b)
Encontre
em cada uma das equações que, implicitamente, definem
como função de
.
a)
a)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
i)
i)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
b)
b)