Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função . Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com funções compostas, domínio de funções e derivadas. Para isso, vamos precisar entender como funciona o domínio da função logaritmo natural ( ) e aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está composta de duas partes:
  1. — o logaritmo natural
  2. — a função seno
Para que a função logaritmo esteja definida, o argumento dentro do precisa ser positivo. Ou seja:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, o domínio de é todos os números reais maiores que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função . Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta , então a derivada é:
Aplicando isso na nossa função:
  • Função externa:
  • Função interna:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções externas e internas:
  • Derivada de :
  • Derivada de : (usando a derivada do logaritmo natural)
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando, temos:

Resposta

O domínio da função é e a derivada de primeira ordem é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
a)
Encontre em cada uma das equações que, implicitamente, definem como função de .
b)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
b)
Considere definida por .
b) Existem e ?