Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função
. Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com funções compostas, domínio de funções e derivadas. Para isso, vamos precisar entender como funciona o domínio da função logaritmo natural (
) e aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função está composta de duas partes:
-
— o logaritmo natural -
— a função seno
Para que a função logaritmo esteja definida, o argumento dentro do
precisa ser positivo. Ou seja:
Resolvendo essa desigualdade:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais maiores que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função
. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas.
A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta
, então a derivada é:
Aplicando isso na nossa função:
- Função externa:
- Função interna:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções externas e internas:
- Derivada de
: - Derivada de
: (usando a derivada do logaritmo natural)
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando, temos:
Resposta
O domínio da função é
e a derivada de primeira ordem é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
a)
a)
Encontre
em cada uma das equações que, implicitamente, definem
como função de
.
b)
b)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
b)
b)
Considere
definida por
.
b) Existem e
?
b) Existem