Considere f definida por f(x) = {-x, x <= 0; 2, x > 0}.
b) Existem f-'(0) e f+ '(0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se existem as derivadas laterais de no ponto 0, ou seja, e . A função está definida de duas formas:
Vamos precisar usar o conceito de derivada lateral, que analisa o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto por valores menores que 0 (à esquerda) e maiores que 0 (à direita).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a derivada pela esquerda. Quando , a função é .
A derivada de em relação a é:
Então, quando nos aproximamos de 0 pela esquerda, a derivada vale .

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a derivada pela direita. Para , a função é constante: .
A derivada de uma constante é:
Portanto, ao nos aproximarmos de 0 pela direita, a derivada é 0.

Resposta

Sim, e .

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