Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão número b: . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio dessa função e calcular a sua derivada de primeira ordem. Para isso, vamos usar os conhecimentos de funções logarítmicas e trigonométricas, além das regras de derivação.

Passo 2

Encontrando o domínio da função:
Primeiro, vamos pensar sobre quando a função está bem definida. O logaritmo natural, , só existe quando . Então, precisamos que .
Quando ?
A função seno é positiva nos intervalos:
  • E assim por diante, a cada intervalo de .
Então, o domínio de é todos os números reais que pertencem a esses intervalos onde o seno é positivo.
Expressando o domínio em notação matemática:
Podemos escrever o domínio como:
Isso significa que para cada inteiro , os valores de entre e estão no domínio da função.

Passo 3

Calculando a derivada de :
Para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é:
No nosso caso, .
Passo a passo da derivação:
  1. Derivada de :
  2. Aplicando a regra da cadeia:
  3. Simplificando a expressão:
    Onde é a cotangente de .

Resposta

O domínio da função é:
E a derivada de primeira ordem de é:

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Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
p)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
m)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
l)