Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão número b: . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio dessa função e calcular a sua derivada de primeira ordem. Para isso, vamos usar os conhecimentos de funções logarítmicas e trigonométricas, além das regras de derivação.
Passo 2
Encontrando o domínio da função:
Primeiro, vamos pensar sobre quando a função está bem definida. O logaritmo natural,
, só existe quando
. Então, precisamos que .
Quando ?
A função seno é positiva nos intervalos:
-
-
-
- E assim por diante, a cada intervalo de
.
Então, o domínio de é todos os números reais
que pertencem a esses intervalos onde o seno é positivo.
Expressando o domínio em notação matemática:
Podemos escrever o domínio como:
Isso significa que para cada inteiro
, os valores de
entre
e
estão no domínio da função.
Passo 3
Calculando a derivada de :
Para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta
é:
No nosso caso, .
Passo a passo da derivação:
-
Derivada de :
-
Aplicando a regra da cadeia:
-
Simplificando a expressão:Onde
é a cotangente de .
Resposta
O domínio da função é:
E a derivada de primeira ordem de
é:
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Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
p)
p)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
m)
m)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
l)
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