Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)
f)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular a derivada de primeira ordem.
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos:
- Domínio: Conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. - Derivada de primeira ordem: Mede a taxa de variação da função em relação a
, basicamente nos dizendo como a função está “subindo” ou “descendo”.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função
.
Sabemos que o logaritmo natural
está definido apenas para
. Portanto, para
ser definido, o argumento
deve ser maior que zero:
Passo 3
Agora, resolvemos a desigualdade
:
Portanto, o domínio da função
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função
. Para isso, usaremos a regra da cadeia, que é usada para diferenciar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos
, então:
Passo 5
Vamos identificar as funções compostas em
:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Passo 6
Em seguida, encontramos a derivada de
em relação a
:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia substituindo
e
:
Resposta
O domínio da função
é
e sua derivada de primeira ordem é:
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
b)
b)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
p)
p)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
l)
l)
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
b)
b)