Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular a derivada de primeira ordem.
Para resolver isso, vamos lembrar de alguns conceitos básicos:
  • Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Derivada de primeira ordem: Mede a taxa de variação da função em relação a , basicamente nos dizendo como a função está “subindo” ou “descendo”.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função .
Sabemos que o logaritmo natural está definido apenas para . Portanto, para ser definido, o argumento deve ser maior que zero:

Passo 3

Agora, resolvemos a desigualdade :
Portanto, o domínio da função é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função . Para isso, usaremos a regra da cadeia, que é usada para diferenciar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos , então:

Passo 5

Vamos identificar as funções compostas em :
Primeiro, encontramos a derivada de :

Passo 6

Em seguida, encontramos a derivada de em relação a :

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia substituindo e :

Resposta

O domínio da função é e sua derivada de primeira ordem é:

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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
b)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
p)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
l)
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
b)