Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função
e também calcular a derivada de primeira ordem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções e regras de derivação, especialmente para funções trigonométricas inversas como a arcsecante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida quando
. No nosso caso,
.
Vamos ver se
:
Sabemos que
é sempre positivo ou zero, então
é sempre maior ou igual a 1. Portanto, a desigualdade sempre se mantém verdadeira para todo
real.
Então, o domínio da função é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
.
Primeiro, vamos lembrar a regra de derivação da função arcsecante. Se
, então:
No nosso caso,
. Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que
.
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, aplicando a derivada da arcsecante:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a derivada fica:
Como
é simplesmente o sinal de
, podemos simplificar para:
Resposta
A derivada de
é:
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)
f)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
b)
b)
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
b)
b)
Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função
.