Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
l)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função e também calcular a derivada de primeira ordem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de funções e regras de derivação, especialmente para funções trigonométricas inversas como a arcsecante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida.
A função está definida quando . No nosso caso, .
Vamos ver se :
Sabemos que é sempre positivo ou zero, então é sempre maior ou igual a 1. Portanto, a desigualdade sempre se mantém verdadeira para todo real.
Então, o domínio da função é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de .
Primeiro, vamos lembrar a regra de derivação da função arcsecante. Se , então:
No nosso caso, . Vamos aplicar a regra da cadeia, que diz que .
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, aplicando a derivada da arcsecante:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a derivada fica:
Como é simplesmente o sinal de , podemos simplificar para:

Resposta

A derivada de é:

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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
b)
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
b)
Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função .