Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação das retas e, depois, usar a equação da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , que vai nos dar a coordenada do ponto onde vamos determinar as retas. A função é , então:
Para resolver isso, lembrar que e .
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função é , então usamos a regra de potência para derivadas:

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente em :
Primeiro, vamos calcular , então:
Assim,
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , usamos a fórmula ponto-inclinação para achar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Podemos deixar assim ou simplificar:

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, pegamos o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula ponto-inclinação novamente para a reta normal:
Simplificando:
Convertendo para frações com denominador comum:

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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l)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
f)
Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função .
Mostre que a reta tangente à parábola , no ponto diferente do seu vértice, corta o eixo dos no ponto .