Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
, no ponto cuja abscissa é indicada.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação das retas e, depois, usar a equação da reta na forma ponto-inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, que vai nos dar a coordenada
do ponto onde vamos determinar as retas. A função é
, então:
Para resolver isso, lembrar que
e
.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A função é
, então usamos a regra de potência para derivadas:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente em
:
Primeiro, vamos calcular
, então:
Assim,
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, usamos a fórmula ponto-inclinação para achar a equação da reta tangente:
Substituindo:
Podemos deixar assim ou simplificar:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, pegamos o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula ponto-inclinação novamente para a reta normal:
Simplificando:
Convertendo para frações com denominador comum:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
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.
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, no ponto
diferente do seu vértice, corta o eixo dos
no ponto
.