Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função
. Isso envolve conceitos de derivadas e tangentes em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta horizontal tem a forma
, onde
é uma constante. Para que essa reta seja tangente ao gráfico de
, ela precisa tocar o gráfico em exatamente um ponto e ter a mesma inclinação naquele ponto.
Passo 3
A inclinação da reta tangente ao gráfico em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, vamos calcular a derivada de
.
A derivada de
é:
Calculando termo a termo:
Passo 4
Como a reta horizontal tem inclinação zero, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação do gráfico é horizontal:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, vamos calcular os respectivos valores de
para determinar as retas horizontais:
Resposta
As equações das retas horizontais tangentes ao gráfico de
são: