Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da função . Isso envolve conceitos de derivadas e tangentes em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta horizontal tem a forma , onde é uma constante. Para que essa reta seja tangente ao gráfico de , ela precisa tocar o gráfico em exatamente um ponto e ter a mesma inclinação naquele ponto.

Passo 3

A inclinação da reta tangente ao gráfico em um ponto é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, vamos calcular a derivada de .
A derivada de é:
Calculando termo a termo:

Passo 4

Como a reta horizontal tem inclinação zero, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação do gráfico é horizontal:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Aqui, , e . Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Com os valores de encontrados, vamos calcular os respectivos valores de para determinar as retas horizontais:

Resposta

As equações das retas horizontais tangentes ao gráfico de são:

Exercícios relacionados

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de , no ponto cuja abscissa é indicada.
b)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
l)
Mostre que a reta tangente à parábola , no ponto diferente do seu vértice, corta o eixo dos no ponto .
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
d)