Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função
. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
- Logaritmo Natural (
): O logaritmo natural está definido apenas para . Então, tem que ser maior que zero. - Denominador Não Pode Ser Zero: Como
está no denominador, ele não pode ser igual a zero. Sabemos que , então não pode ser igual a 1.
Então, juntando essas duas condições, o domínio da função é:
Ou seja, todos os números reais positivos exceto 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função
. Para isso, vamos usar a regra da derivada de uma função composta e a regra do quociente.
Primeiro, podemos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
- Derivada da parte externa (
) em relação a :
- Multiplicamos pela derivada da parte interna (
) em relação a :
Juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
é:
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Encontre
em cada uma das equações que, implicitamente, definem
como função de
.
c)
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
o)
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)
k)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)
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