Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função . Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  1. Logaritmo Natural ( ): O logaritmo natural está definido apenas para . Então, tem que ser maior que zero.
  2. Denominador Não Pode Ser Zero: Como está no denominador, ele não pode ser igual a zero. Sabemos que , então não pode ser igual a 1.
Então, juntando essas duas condições, o domínio da função é:
Ou seja, todos os números reais positivos exceto 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função . Para isso, vamos usar a regra da derivada de uma função composta e a regra do quociente.
Primeiro, podemos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
  1. Derivada da parte externa ( ) em relação a :
  1. Multiplicamos pela derivada da parte interna ( ) em relação a :
Juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A derivada de é:

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Encontre em cada uma das equações que, implicitamente, definem como função de .
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
o)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)