Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente funções trigonométricas, exponenciais e derivadas. Vamos precisar entender como identificar o domínio de uma função e aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
- A função dentro do
é . - A função exponencial
está definida para todo real, porque o expoente sempre dá um número real. - A função
está definida para todo real.
Então, não há restrições sobre
. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função
.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
-
Identifique as funções compostas:
- A função externa é
, onde . - A função interna é
.
- A função externa é
-
Calcule a derivada da função externa em relação a
: -
Calcule a derivada da função interna
em relação a : Aqui, usamos a derivada da exponencial, que é , onde e . -
Aplique a regra da cadeia:
-
Simplifique a expressão:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais, e sua derivada de primeira ordem é:
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
e)
e)
Encontre
em cada uma das equações que, implicitamente, definem
como função de
.
c)
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)
e)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
i)
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