Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para determinar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente funções trigonométricas, exponenciais e derivadas. Vamos precisar entender como identificar o domínio de uma função e aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • A função dentro do é .
  • A função exponencial está definida para todo real, porque o expoente sempre dá um número real.
  • A função está definida para todo real.
Então, não há restrições sobre . Portanto, o domínio de é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função .
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
  1. Identifique as funções compostas:
    • A função externa é , onde .
    • A função interna é .
  2. Calcule a derivada da função externa em relação a :
  3. Calcule a derivada da função interna em relação a :
    Aqui, usamos a derivada da exponencial , que é , onde e .
  4. Aplique a regra da cadeia:
  5. Simplifique a expressão:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, e sua derivada de primeira ordem é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
e)
Encontre em cada uma das equações que, implicitamente, definem como função de .
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
i)