Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)
e)
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular a derivada de primeira ordem da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que é um dos tópicos principais de cálculo. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada diferenciação logarítmica, que ajuda bastante quando a variável aparece no expoente como aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. A função é:
Para lidar com essa potência onde a base e o expoente são iguais, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Isso nos ajuda a transformar a potência em um produto, o que é mais fácil de diferenciar.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, vamos usar a regra da cadeia no lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos
:
Passo 5
Agora, igualando as duas derivadas:
Para achar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembremos que
, então substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)
k)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
e)
e)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
i)
i)
Encontre a equação da reta tangente à curva
que é paralela à reta
.