Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a derivada de primeira ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, que é um dos tópicos principais de cálculo. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada diferenciação logarítmica, que ajuda bastante quando a variável aparece no expoente como aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. A função é:
Para lidar com essa potência onde a base e o expoente são iguais, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Isso nos ajuda a transformar a potência em um produto, o que é mais fácil de diferenciar.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que é uma função de , vamos usar a regra da cadeia no lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito, precisamos usar a regra do produto, já que temos :

Passo 5

Agora, igualando as duas derivadas:
Para achar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembremos que , então substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
e)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
i)
Encontre a equação da reta tangente à curva que é paralela à reta .