Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada de primeira ordem da função
. Aqui estamos trabalhando com derivadas, mais especificamente com funções exponenciais que têm potências complicadas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que uma função exponencial como
pode ser escrita usando a base
assim:
No nosso caso,
e
. Então,
Isso nos ajuda a simplificar a derivação usando propriedades da função exponencial natural.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. A derivada de
em relação a
é:
Aqui,
. Portanto, precisamos encontrar
.
Passo 4
Vamos derivar
. Primeiro, focamos na parte
. Sabemos que
pode ser reescrito como
. Assim,
A derivada de
é
. Então,
Portanto,
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos substituir de volta na fórmula da derivada de
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A derivada de primeira ordem da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
e)
e)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
k)
k)
Encontre a equação da reta tangente à curva
que é paralela à reta
.
Considere a função
definida por
.
b) é contínua em
?
b)