Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
c)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos a função . Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular a sua derivada de primeira ordem. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas e de derivadas.

Passo 2

Determinando o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , precisamos analisar onde cada parte da função está definida.
  • : O logaritmo natural está definido apenas para .
  • Multiplicação por e subtração de : Essas operações não impõem restrições adicionais além de precisar ser real.
Portanto, o domínio da função é todos os números reais positivos.

Passo 3

Calculando a derivada de primeira ordem
Para encontrar a derivada de , vamos derivar cada termo da função separadamente. A função é composta por dois termos:
Vamos derivar cada um desses termos.

Passo 4

Derivando
Para derivar , usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função , a derivada será:
Aqui, e .
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Derivando
A derivada de em relação a é simplesmente:

Passo 6

Unindo as derivadas
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:

Resposta

O domínio de é e a derivada de primeira ordem é .

Exercícios relacionados

Se é uma função derivável, tal que , mostre que a função dada por é constante.
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
r)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
h)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
j)