Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
c)
c)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos a função
. Precisamos determinar o domínio dessa função e calcular a sua derivada de primeira ordem. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções logarítmicas e de derivadas.
Passo 2
Determinando o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, precisamos analisar onde cada parte da função está definida.
-
: O logaritmo natural está definido apenas para . - Multiplicação por
e subtração de : Essas operações não impõem restrições adicionais além de precisar ser real.
Portanto, o domínio da função
é todos os números reais positivos.
Passo 3
Calculando a derivada de primeira ordem
Para encontrar a derivada de
, vamos derivar cada termo da função separadamente. A função é composta por dois termos:
Vamos derivar cada um desses termos.
Passo 4
Derivando
Para derivar
, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função
, a derivada será:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas individuais:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Derivando
A derivada de
em relação a
é simplesmente:
Passo 6
Unindo as derivadas
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
Resposta
O domínio de
é
e a derivada de primeira ordem é
.
Exercícios relacionados
Se
é uma função derivável, tal que
, mostre que a função
dada por
é constante.
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
r)
r)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
h)
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
j)
j)