Se f é uma função derivável, tal que f'(x) = 2 x f(x), mostre que a função g dada por g(x) = f(x) / e^(x^2) é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que é derivável e satisfaz a equação . A gente precisa mostrar que a função é constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação e propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser constante. Se é constante, sua derivada deve ser igual a zero para todo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de usando a regra do quociente. Lembra que a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra do quociente em , temos:

Passo 5

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra da cadeia:

Passo 6

Substituindo essa derivada na expressão do :

Passo 7

Simplificando a express��o dividindo numerador e denominador por :

Passo 8

Sabemos que , então substituindo na expressão:

Resposta

Como para todo , a função é constante.

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