Se
é uma função derivável, tal que
, mostre que a função
dada por
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função
que é derivável e satisfaz a equação
. A gente precisa mostrar que a função
é constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivação e propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser constante. Se
é constante, sua derivada
deve ser igual a zero para todo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
usando a regra do quociente. Lembra que a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente em
, temos:
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da cadeia:
Passo 6
Substituindo essa derivada na expressão do
:
Passo 7
Simplificando a express��o dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Sabemos que
, então substituindo na expressão:
Resposta
Como
para todo
, a função
é constante.