Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
h)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função
. Aqui, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, funções trigonométricas e derivadas. Precisaremos entender como determinar onde a função está definida e aplicar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Para
, o argumento do logaritmo, ou seja,
, deve ser maior que zero, porque o logaritmo natural só está definido para números positivos.
Então, temos:
Precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas. A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma função de
.
Aqui,
, então precisamos primeiro encontrar a derivada de
em relação a
.
Derivada de
:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar isso usando a definição da função tangente:
Resposta
A derivada de primeira ordem da função
é:
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
c)
c)
Se
é uma função derivável, tal que
, mostre que a função
dada por
é constante.
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
j)
j)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
c)
c)