Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar o domínio e calcular a derivada de primeira ordem da função . Aqui, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, funções trigonométricas e derivadas. Precisaremos entender como determinar onde a função está definida e aplicar as regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , o argumento do logaritmo, ou seja, , deve ser maior que zero, porque o logaritmo natural só está definido para números positivos.
Então, temos:
Precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função .
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz como derivar funções compostas. A derivada de em relação a é , onde é uma função de .
Aqui, , então precisamos primeiro encontrar a derivada de em relação a .
Derivada de :
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar isso usando a definição da função tangente:

Resposta

A derivada de primeira ordem da função é:

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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
c)
Se é uma função derivável, tal que , mostre que a função dada por é constante.
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
j)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
c)