Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio dessa função e calcular sua derivada de primeira ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções compostas e as derivadas das funções arco seno e raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida quando o argumento
está entre -1 e 1, ou seja:
No nosso caso,
. Então, temos:
Mas, como
sempre é não negativo (ou seja,
), a parte
é sempre verdadeira. Então, só precisamos nos preocupar com:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Além disso, como temos uma raiz quadrada, o
também precisa ser maior ou igual a 0:
Então, juntando as duas condições:
Portanto, o domínio da função
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função
.
Para derivar essa função, vamos usar regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta (uma função dentro de outra).
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, então a derivada é:
No nosso caso, temos:
- Função externa:
, onde - Função interna:
Vamos derivar cada parte:
- Derivada da função externa
em relação a :
- Derivada da função interna
em relação a :
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando essas duas derivadas:
Simplificando
para
:
Podemos escrever essa expressão de forma mais elegante:
Resposta
O domínio da função
é
e sua derivada de primeira ordem é:
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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
h)
h)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
c)
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
c)
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
g)
g)