Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a função . Nosso objetivo aqui é encontrar o domínio dessa função e calcular sua derivada de primeira ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções compostas e as derivadas das funções arco seno e raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida quando o argumento está entre -1 e 1, ou seja:
No nosso caso, . Então, temos:
Mas, como sempre é não negativo (ou seja, ), a parte é sempre verdadeira. Então, só precisamos nos preocupar com:
Para resolver isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Além disso, como temos uma raiz quadrada, o também precisa ser maior ou igual a 0:
Então, juntando as duas condições:
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função .
Para derivar essa função, vamos usar regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta (uma função dentro de outra).
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , então a derivada é:
No nosso caso, temos:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada da função externa em relação a :
  1. Derivada da função interna em relação a :
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando essas duas derivadas:
Simplificando para :
Podemos escrever essa expressão de forma mais elegante:

Resposta

O domínio da função é e sua derivada de primeira ordem é:

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Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
h)
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
c)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
g)