Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
g) f(x) = (x^x)^x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de primeira ordem da função . Aqui, estamos lidando com exponenciais e potências de potências, então vamos precisar usar a diferenciação logarítmica para simplificar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Sabemos que . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, para encontrar , a derivada de , vamos usar a diferenciação logarítmica. Começamos aplicando o logaritmo natural nos dois lados:

Passo 4

Simplificando o lado direito usando a propriedade dos logaritmos :

Passo 5

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de é :

Passo 6

Vamos calcular a derivada do lado direito. Usamos a regra do produto para :

Passo 7

Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A derivada de primeira ordem da função é:

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