Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a derivada da função
. Aqui, vamos precisar usar conceitos de domínio de funções, logaritmos, raízes e cálculo de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
-
Argumento do Logaritmo: O logaritmo natural,
, só está definido quando . Então, temos: -
Dentro da Raiz Quadrada: A raiz quadrada também exige que o que está dentro dela seja positivo:
Agora, vamos resolver a desigualdade
:
-
Identificando Intervalos:
-
quando -
quando
-
-
Analisando os Sinais:
- Para
: Ambos e são positivos, então a fração é positiva. - Para
: é negativo e é positivo, então a fração é negativa. - Para
: Ambos e são negativos, então a fração é positiva.
- Para
-
Conclusão do Domínio:Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
.
-
Simplificando a Função:Isso facilita a derivação usando propriedades dos logaritmos.
-
Aplicando a Regra da Derivada do Logaritmo:A derivada de
é , então: Simplificando os sinais: -
Unificando as Frações:
-
Simplificando Final:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
, definida para
, e seja
sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de ?
a) Qual o domínio e qual a imagem de
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
k)
k)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
a)
a)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
h)
h)