Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a derivada da função . Aqui, vamos precisar usar conceitos de domínio de funções, logaritmos, raízes e cálculo de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  1. Argumento do Logaritmo: O logaritmo natural, , só está definido quando . Então, temos:
  2. Dentro da Raiz Quadrada: A raiz quadrada também exige que o que está dentro dela seja positivo:
Agora, vamos resolver a desigualdade :
  • Identificando Intervalos:
    • quando
    • quando
  • Analisando os Sinais:
    • Para : Ambos e são positivos, então a fração é positiva.
    • Para : é negativo e é positivo, então a fração é negativa.
    • Para : Ambos e são negativos, então a fração é positiva.
  • Conclusão do Domínio:
    Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função .
  1. Simplificando a Função:
    Isso facilita a derivação usando propriedades dos logaritmos.
  2. Aplicando a Regra da Derivada do Logaritmo:
    A derivada de é , então:
    Simplificando os sinais:
  3. Unificando as Frações:
  4. Simplificando Final:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Considere a função , definida para , e seja sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de ?
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
k)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
a)
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
h)