Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
k)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de primeira ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia e conhecendo as derivadas das funções trigonométricas seno e cosseno. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas (ou seja, uma função dentro de outra função). A regra da cadeia diz que se temos , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:

Passo 5

Agora, vamos derivar o que está dentro do parêntese. Vamos derivar cada termo separadamente:
Portanto, a derivada de é:

Passo 6

Substituindo a derivada que encontramos no Passo 5 na expressão do Passo 4:
Podemos simplificar isso escrevendo de uma forma mais limpa:

Resposta

A derivada de primeira ordem da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f)
Encontre as equações das retas tangente e normal à curva , no ponto de abscissa .
Considere a função , definida para , e seja sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de ?
Para cada uma das funções definidas abaixo, determine o domínio e calcule a derivada de primeira ordem.
g)