Considere a função y = f(x) = x^2 - x - 2, definida para x ≥ 1/2, e seja x = g(y) sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de g ?

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada , que está definida para todos os valores de maiores ou iguais a . A função inversa dessa função é , que basicamente “desfaz” o que faz. O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio (todos os valores de entrada possíveis) e a imagem (todos os valores de saída possíveis) da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função inversa troca o domínio e a imagem da função original. Ou seja:
  • Domínio de = Imagem de
  • Imagem de = Domínio de
Então, para encontrar o domínio e a imagem de , precisamos descobrir primeiro qual é a imagem de .

Passo 3

Vamos analisar a função para . Queremos saber quais valores pode assumir.
Para isso, podemos encontrar o valor mínimo da função nesse intervalo, já que cresce à medida que aumenta.
Vamos calcular o valor de quando :
Esse é o ponto mínimo da função para . Como é uma parábola que abre para cima, ela continua aumentando para valores de maiores que . Portanto, a imagem de é todos os valores maiores ou iguais a .

Passo 4

Agora que sabemos que a imagem de é , podemos usar essa informação para determinar o domínio de . Como é a inversa de , o domínio de será exatamente a imagem de , ou seja, .
Além disso, a imagem de será o domínio de , que já sabemos ser .

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :

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