Considere a função
, definida para
, e seja
sua inversa.
a) Qual o domínio e qual a imagem de
?
a) Qual o domínio e qual a imagem de
Passo 1
Então, a gente tem uma função chamada
, que está definida para todos os valores de
maiores ou iguais a
. A função inversa dessa função é
, que basicamente “desfaz” o que
faz. O que a gente precisa descobrir aqui é o domínio (todos os valores de entrada possíveis) e a imagem (todos os valores de saída possíveis) da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função inversa troca o domínio e a imagem da função original. Ou seja:
- Domínio de
= Imagem de - Imagem de
= Domínio de
Então, para encontrar o domínio e a imagem de
, precisamos descobrir primeiro qual é a imagem de
.
Passo 3
Vamos analisar a função
para
. Queremos saber quais valores
pode assumir.
Para isso, podemos encontrar o valor mínimo da função nesse intervalo, já que
cresce à medida que
aumenta.
Vamos calcular o valor de
quando
:
Esse é o ponto mínimo da função para
. Como
é uma parábola que abre para cima, ela continua aumentando para valores de
maiores que
. Portanto, a imagem de
é todos os valores maiores ou iguais a
.
Passo 4
Agora que sabemos que a imagem de
é
, podemos usar essa informação para determinar o domínio de
. Como
é a inversa de
, o domínio de
será exatamente a imagem de
, ou seja,
.
Além disso, a imagem de
será o domínio de
, que já sabemos ser
.
Resposta
- Domínio de
: - Imagem de
: