Para cada uma das funções f(x) abaixo, encontre os limites laterais lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x) e forneça, caso exista, o valor de lim x 2 f(x) :
© f(x)=cccraiz[3]4 x, & se & x<2 |x|, & se & x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os limites laterais da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Depois, vamos ver se o limite geral existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais e entender como a função se comporta em cada trecho.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x) = raiz[3]4x, & se x < 2 |x|, & se x >= 2 que está definida por partes:
Isso significa que para valores de menores que 2, usamos a função , e para maior ou igual a 2, usamos .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando limx to 2^- f(x) = limx to 2^- raiz[3]4x se aproxima de 2 pela esquerda ( raiz[3]4 times 2 = raiz[3]8 = 2 ). Nesse caso, usamos a primeira parte da função:
Substituindo por 2:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ |x| se aproxima de 2 pela direita ( |2| = 2 ). Aqui, usamos a segunda parte da função:
Já que é maior ou igual a 2, . Substituindo por 2:
Portanto, .

Passo 5

Agora que temos os limites laterais, vamos verificar se o limite geral existe. Se os limites pela esquerda e pela direita forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor.
Como:
limx to 2^- f(x) = 2 e limx to 2^+ f(x) = 2
Os dois limites são iguais, então:
limx to 2 f(x) = 2

Resposta

limx to 2^- f(x) = 2, limx to 2^+ f(x) = 2 e limx to 2 f(x) = 2

Exercícios relacionados