Determine o maior valor da expressão na regiāo compacta

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar o maior valor da função dentro da região específica definida por , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre como encontrar máximos de funções em regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é um triângulo no plano com vértices em , e . Isso porque as condições , e delimitam esse triângulo.

Passo 3

Para encontrar o máximo da função nessa região, precisamos verificar tanto os pontos críticos dentro da região quanto os valores da função nas bordas da região . O maior valor entre esses será o máximo que procuramos.

Passo 4

Vamos começar encontrando os pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando ambas a zero, temos um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Fatorando, obtemos:
Usando a identidade trigonométrica , simplificamos para:
Isso nos dá possíveis soluções quando cada fator é zero.

Passo 6

Analisando as soluções:
  1. implica ou , mas dentro da região , apenas é válido.
  2. implica , onde é inteiro.
  3. Similarmente para a segunda equação.
No entanto, dentro da região , as únicas soluções viáveis são os limites da região, ou seja, quando ou ou .

Passo 7

Agora, vamos avaliar a função nas bordas da região:
  1. Quando :
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 8

Além das bordas, vamos verificar se há algum ponto interno na região onde a função pode ter um valor máximo. Observando a simetria da função e os possíveis pontos críticos, vemos que o máximo ocorre quando .
Calculando:

Resposta

O maior valor da expressão é .

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©
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(7)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(2)
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