Determine o maior valor da expressão
na regiāo compacta
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar o maior valor da função
dentro da região específica definida por
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente sobre como encontrar máximos de funções em regiões delimitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
. Isso porque as condições
,
e
delimitam esse triângulo.
Passo 3
Para encontrar o máximo da função
nessa região, precisamos verificar tanto os pontos críticos dentro da região quanto os valores da função nas bordas da região
. O maior valor entre esses será o máximo que procuramos.
Passo 4
Vamos começar encontrando os pontos críticos. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando ambas a zero, temos um sistema de equações que precisamos resolver para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Fatorando, obtemos:
Usando a identidade trigonométrica
, simplificamos para:
Isso nos dá possíveis soluções quando cada fator é zero.
Passo 6
Analisando as soluções:
-
implica ou , mas dentro da região , apenas é válido. -
implica , onde é inteiro. - Similarmente para a segunda equação.
No entanto, dentro da região
, as únicas soluções viáveis são os limites da região, ou seja, quando
ou
ou
.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a função
nas bordas da região:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 8
Além das bordas, vamos verificar se há algum ponto interno na região onde a função pode ter um valor máximo. Observando a simetria da função e os possíveis pontos críticos, vemos que o máximo ocorre quando
.
Calculando:
Resposta
O maior valor da expressão é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções
abaixo, encontre os limites laterais
e
e forneça, caso exista, o valor de
:
©
©
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(7)
(7)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(2)
(2)
Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange, resolva os seguintes problemas de extremos vinculados:
.